PA jest wystarczające do zakodowania obliczeń i dowodów przy użyciu liczb naturalnych, ale nie może udowodnić pełnego twierdzenia Goodsteina bez silniejszych systemów, takich jak ZF.
Teoria Goodsteina dotyczy sekwencji Goodsteina, które ostatecznie zawsze redukują się do zera, co PA może udowodnić dla konkretnych przypadków, ale nie dla wszystkich naturalnych liczb bez silniejszych mechanizmów.
Używanie rekurencji i systemów typu w PA pozwala na reprezentację dowolnych procesów obliczeniowych i logicznych poprzez odpowiednie kodowanie.
Indukcja i silna indukcja w PA są możliwe do zastosowania na niektórych ordynalach, ale nie na wszystkich, na przykład nie na ε_0, co uniemożliwia PA dowodzenie pewnych aspektów twierdzenia Goodsteina.
PA może mechanicznie stworzyć dowód dla każdego konkretnego przypadku G(n), ale wymaga to zewnętrznego wsparcia, aby dowieść ogólnego przypadku.
Get notified when new stories are published for "🇵🇱 Hacker News Polski"