Pembuktian Rangkaian Goodstein dalam PA

Goodstein sequence dalam aritmatika Peano (PA) dapat dibuktikan mencapai nol untuk setiap kasus individu, tetapi PA tidak dapat membuktikan untuk semua bilangan alam secara keseluruhan.

Sistem yang lebih kuat seperti Zermelo-Fraenkel (ZF) diperlukan untuk membuktikan teorema Goodstein.

Beberapa argumen menunjukkan bahwa PA dapat membuktikan setiap pernyataan individu dari teorema Goodstein dengan memanfaatkan skema refleksi seragam, yang memperpanjang kekuatan sistem pembuktian.

Aritmatika Peano dapat mengkodekan komputasi, menunjukkan bahwa setiap algoritma atau prosedur terhitung dapat direpresentasikan dalam PA.

Konsep induksi transfinisit terbatas pada ordinal dibawah ε0 dalam PA, dan melampauinya akan melanggar teorema ketidaklengkapan Gödel.

Dengan PA, setiap langkah pembuktian dapat direpresentasikan dan diverifikasi, membuktikan bahwa semua logika bisa dikodekan di dalam PA dekat dengan pengkodean prosedur komputasi.

Pengkodean bahasa pemrograman Lisp dalam PA menunjukkan kemampuan PA dalam mensimulasikan komputasi dan memungkinkan pembuatan berbagai struktural data dan mesin virtual.