Что такое действительные числа

Для заполнения «дыр» в рациональных числах вводят континуум действительных чисел.

Конструкция Дедекинда определяет действительное число как сечение рациональной прямой, заполняя каждый разрыв.

Расселевский подход «честного труда» строит поле действительных чисел как множество всех сечений Дедекинда.

Альтернативная конструкция Коши формирует действительные числа как классы эквивалентных фундаментальных (Коши) последовательностей.

Историческое геометрическое представление числа трактует его как длину на числовой прямой, что порождает проблемы смешения размеров.

Теорема Хантингтона устанавливает, что все полные упорядоченные поля изоморфны, определяя уникальность структуры действительных чисел.

Структуралистский подход рассматривает действительные числа через их роль в едином полном упорядоченном поле без выбора конкретной копии.

Чисто порядковая категоричность континуума характеризует прямую как бесконечный, плотный, полный линейный порядок со счётно плотным подмножеством.

Гипотеза Суслина о существовании несводимого упорядочения с условием счётной цепной замкнутости оказывается независимой от стандартных аксиом теории множеств.